2023-12-30

人の優しさに触れる旅: 車いす旅行で発見する喜び

　車いすに乗るようになってから十数年が経ちました。怪我をして車いすのお世話になった頃は、悔しい気持ちと悲しい気持ちで一杯でした。「楽しみだった旅行も、もう行けないだろうな」「それは仕方がないことなんだな」と諦めていました。　けれども、車いすに乗っている方でも安心して泊まれるバリアフリーのホテルや旅館が日本各地にたくさんあったんですね。

bariyado.com

　このブログでは車いすに乗っている方でも安心して泊まれるバリアフリーの宿の部屋、食事、ホームページ、地図などを都府県別に紹介しています。ただし、実際に宿泊したり予約したわけではないのでその点についてはご了承ください。

車いすに乗っています

　車いすに乗るようになった経緯をお話すると、その日はクリスマスも間近な寒い冬の夜でした。会社の帰り道、駅ビルの中にある書店で本を購入してバス停に向かって小走りに歩いていた途中で少しの段差に躓いてしまい、かなりの勢いで転倒してしまいました。その日は交番から自宅に連絡し家族の人に迎えに来てもらいました。　その時以来、歩行することは出来たのですが長い間歩くことが難しくなってしまいました。市内にある障害者センターでリハビリを受けたのですが改善せず、会社を退職することを余儀なくされました。　電動車いすを愛用するようになったのは、それから一年後のことでした。いまでは車いすが良き相棒になりました。作業所に通所するときも病院に通院するときも買い物に行くときも、一緒です。

車いすに乗って旅行に行きたい理由があります

　伊豆踊り子号が下を走る歩道橋を渡ると、中小の会社が建ち並ぶ街並みが見えてきます。その丁度中央にあった4階建ての白い建物が私の勤めていた会社（測定器の製造メーカー）でした。測定器に内蔵されているマイクロコンピュータのプログラムを作成することが仕事でした。　プログラミングの仕事は、思い描いた期待通りに動作した時の達成感が一番の魅力でした。その反面、プログラムにはバグ（不具合）が付いて回りました。いつ生じるか分からないバグに頭を悩ます毎日でした。　そんな中、気分転換も兼ねて伊豆半島にひとりで旅行をした時に、強い風が吹こうが大雨が降ろうが動じない伊豆の山々や何もなかったかのように流れている河を見ているうちに、自分が悩んでいることの小ささに気づかされました。

まとめ

　正直に書くと、アフェリエイトで収入を得る目的で始めたブログでしたが、今は違います。このブログを、ご覧なられた車いすに乗っている方に安心して旅行を楽しんで頂けたら大変うれしく思います。

　不条理なことにイラついたり、思い通りには行かない悔しさ、ネガティブな気持ちになりがちですが、日常生活から離れてリラックスする時間を持つことはストレスを軽減し、何より心身に良い影響を与えます。

　車いすに乗るようにならなかったら、気付かなかった優しさがたくさんありました。車いすに乗って旅行に行き、人の優しさ・暖かさに触れてみませんか？

2022-08-12

幾何学図形を描いてみました

　月刊誌「数学セミナー」を購読していた頃、幾何学図形を描く特集があったのを思い出しました。インターネットもスマホもない時代です。PC-8001というマイコンとプロッタ（多分「渡辺測器」製だったと思います）の組み合わせで幾何学図形を描いたのを覚えています。今回はHTMLのグラフィックキャンパス要素 canvas の勉強を兼ねて幾何学図形を描いてみました。図形をホーバーすると回転します。

幾何学図形

10本 20本 30本

　はてなブログで,はじめてjavascriptを使ってみました。正常に動作するのか不安もありましたが、Markdown記法にて SCRIPTタグで記述すれば、グローバル変数の扱いも含めて問題なく動作しました。

2022-07-21

笠原乾吉著　複素解析（ちくま学芸文庫）を読んで

　複素関数論の本「笠原乾吉著　複素解析（ちくま学芸文庫）」を紹介します。とは言え、第4章以降は不勉強なため（私には少し難しいので,これから,じっくりと理解する予定です.）節のタイトルと定理を列記することに終始してあります。今後、膨らませて行く予定です。この本を読まれる方々の、お役に立てれば幸いに存じます。
２０２２年７月

複素解析　1変数解析関数（ちくま学芸文庫） [ 笠原乾吉 ]

価格:1,430円
(2022/7/21 19:32時点)
感想(0件)

　本書は、はじめて複素解析（複素関数論）を学ばれる方のための入門書です。この本の目的は複素解析とは何かを追求するところにあります。微分積分学の一般論では、関数一般に関する数多くの定理が述べられていますが、その例題として登場する関数は実は解析関数であるから、その関数本来の性質を明らかにするためには複素解析関数として考察することが重要になります。　最初に解析関数とは何かを単刀直入に述べてはいますが、特殊関数の具体的な性質を調べる過程において導かれた一般論であるという雰囲気も伝えたい。　解析性という非常に強いように思える要請が、自然なものであることも理解できると思います。

第1章　正則関数とは何か

　この章では、複素微分可能であるための五つの必要十分条件について解説してあります。

コーシー・リーマンの方程式　定理 1.2.3 P.24
コーシーの積分定理　　　　　定理 1.3.2 (ⅰ) P.29
コーシーの積分公式　　　　　定理 1.3.2 (ⅱ) P.29
原始関数の局所的存在　　　　定理 1.4.4 P.32
整級数展開可能性　　　　　　定理 1.5.1 P.33

　いずれの定理も,複素関数論の初め学ぶ重要な定理です. さらに,連続関数が正則ならば等角写像でもある.（定理 1.6.1（メンショフの定理） P.38）（擬）等角写像は偏微分方程式論や流体力学に応用をもち,さらにリーマン面のモジュラスの理論では最も中心的な位置をしめている. 　最後の節では,正則関数と調和関数との関係について触れています.

第2章　正則関数の性質

　最も基本的な正則関数の定理を四つ説明されています.

一致の定理　　　　　　　　　　　　　定理 2.1.1 P.41
最大値の原理　　　　　　　　　　　　定理 2.2.1 P.45
正則関数列
1. ワイエルストラスの二重級数定理　　定理 2.3.1 P.47
2. 微分記号と積分記号の交換　　　　　系 2.3.2 P.48
写像としての局所的性質　　　　　　　定理 2.4.1 P.50

　「一致の定理」により実解析関数が正則関数に延長されることを示し,指数関数,三角関数を導入します. 　また,微分記号と積分記号の交換の条件も応用上重要な条件の一つです.

　ある点を原点に適当に座標変換することで,局所的に正則関数は写像として $w = z^{ n }$ と同じ振る舞いをすることを示します..

第３章　孤立特異点

　基礎的な孤立特異点に関する事項が述べられています.はじめに孤立特異点の周りでローラン級数に展開しますこのローラン級数の形により、孤立特異点は除去可能な孤立特異点、極、真性特異点に分かれます。

ローラン級数　　　　　　　　　定理 3.1.1 P.54
リーマンの除去可能特異点定理　定理 3.2.3 (ⅰ) P.57
1. ワイエルストラスの定理　　　定理 3.2.3 (ⅲ) P.57
留数定理　　　　　　　　　　　定理 3.3.1 P.59
偏角の原理　　　　　　　　　　定理 3.4.1 P.65
ルーシェの定理　　　　　　　　定理 3.5.1 P.68
1. フルヴィッツの定理　　　　　定理 3.5.2 P.69
2. 代数学の基本定理　　　　　　定理 3.5.4 P.69

第4章　多価関数とリーマン面（1次元複素多様体）

　対数関数を多価関数として理解するために、複素平面をリーマン面（複素多様体）に拡張します。多様体を理解することは現代数学への第一歩です。

無限遠点、リーマン面
有理形関数
対数関数 log z
多価関数のリーマン領域
リーマン面（1次元複素多様体）

第5章　正則関数・有理形関数は存在するか

　ある条件を満たす関数が存在すれば、何々が成り立つという形の定理が関数論では沢山あります。この章では、与えられた条件を満たす関数を作ることを問題にします。

リュービルの定理　　　　　　　　　　　　　定理 5.1.1 P.93
コーシーの評価式　　　　　　　　　　　　　補題 5.1.2 P.93
ミッタグ・レフラーの定理　　　　　　　　　定理 5.3.1 P.97
ルンゲの定理　　　　　　　　　　　　　　　定理 5.4.3 P.102
クザンの加法的問題の解　　　　　　　　　　定理 5.5.1 P.105
コホモロジーの消滅　　　　　　　　　　　　定理 5.5.2 P.105
非同次のコーシー・リーマン偏微分方程式　　定理 5.5.3 P.106
リーマンの写像定理　　　　　　　　　　　　定理 5.7.1 P.112

第6章　一次変換

　何かの問題を解く場合に,非常に特別な関数（一次変換）にして解き易い形に写すことは,よくあることです. また一次変換の重要性については 6.7 節を参照してください.

一次変換
非調和比
円円対応
称点保存
単位円、上半平面の自己等角写像
シュヴァルツの補題と写像の一意性
一次変換の重要性

第7章　ボアンカレ計量

　単位円上に計量（ボアンカレ計量）を入れ、その計量から距離を定義する.ただし双曲型領域に正則写像が距離を縮小する写像となるように定義する.それを用いて「ピカールの大定理」を証明する.また,正規族の節で有名なアスコリ・アルツェラの定理(定理 7.5.3 P.163)に紹介します. 6節の円環領域において,解析的自己同形群,複素多様体のモジュラスについて最も簡単な実例を提供してあります.

ベルグマン計量
単位円の非ユークリッド幾何学
単位円を普遍被覆面とする領域
ピカールの大定理
正規族
円環領域

第8章　楕円関数・モジュラー関数

　周期関数の性質を基本として,基本周期 ω, ω' をもつ二重周期関数の全体の集合を調べます.複素平面から二つの点を取り除いた領域が双曲型であることを示し,ピカールの大定理の証明が完結する.モジュラー関数と楕円関数との関係は章末に注が,付いています.

周期関数
２重周期関数（楕円関数）
ワイエルストラスのベー関数
楕円関数の加法定理
モジュラー関数 J(τ)
J(τ)のフーリエ級数展開
基本領域
モジュラー関数λ(τ)
2重周期関数をなぜ楕円関数というか

付録０　偏微分法から

偏微分はつまらない
全微分可能
C¹, 偏微分の復権
陰関数定理

付録Ⅰ　複素平面C
付録Ⅱ　曲線、線積分、グリーン・ストークスの定理付録Ⅲ　平面のベクトル解析付録Ⅳ　１の分解と,グリーン・ストークスの定理の証明付録Ⅴ　級数の和,一様収束,整級数,無限積付録Ⅵ　正則関数とベクトル解析付録Ⅶ　解析接続,１価性定理,コーシーの積分定理

2022-03-13

簡単にできる３Dアニメーション【CSS&javascript】

　プログラムが自分の思う通りに動作した時、バグ（不具合）の原因が分かった時は嬉しいものです。まさにプログラマ冥利に、尽きました。その思いが強くて会社を辞めた後もプログラムを作りたいという気持ちに駆られました。
　丁度その頃（会社を辞める前か辞めた頃）HTML,CSS,javascript を使用したホームページを作ることが主流になってきました。その後、十年以上HTML,CSS,javascriptの勉強をしています。
　２０２２冬季北京オリンピックの感動も冷めやらぬ中、CSS と javascript を使用して３Dアニメーションを作ってみました。設定をご自由に変更して「RUN」ボタンをクリックして試みてください。面白いですよ！

スノーボード

http://hilbert314159.org/3Danimation/

hilbert314159.org

　このアプリを作成するにあたってのポイント
　　・ボタンをクリックされたらアニメーションを開始するには、どうするの？
　　・えっ！本当。CSSの中で変数を使用できるの？
　　・javascriptを使用してキーフレーム(keyframe)の引数を変更するには、どうするの？
などの技術的な内容を記述します。

1. brackets から VScode への移行

　今まで HTML,CSS,javascript を使用してWEBアプリを作る時には、コードエディター「brackets」を使っていたのですが、サポートが終了したとのことでしたので、「Visual Studio Code」へ移行したいと思っていました。簡易的なローカルサーバ「Live Server」をインストールして試してみましたがエディターで変更した内容がbracketsの様に、すぐにはブラウザに反映されないので未だ拡張機能（プラグイン）が足りないのかなと思っていました。そんな時ファイル・メニューの中に「自動保存」の項目があることに気づき「これかも知れない」と思い、「自動保存」にチェックをしたところ、エディターで変更した内容が即時にブラウザに反映される様になりました。自動保存の設定項目は「off」「afterDelay」「onFocusChane」「onWindowChange」があります。

2. アニメーションの作り方とアニメーションを開始する方法

2.1 アニメーションの作り方

　アニメーションの始め方の前に、アニメーションの作り方を簡単に説明します。
　どの様なアニメーションを作るのか、アニメーションのスムーズなトランジション（移り変わり、変遷）の開始点と終了点を定義する描画をキーフレーム(keyframe)を作ります。例えば、画像を右に移動してから９０度時計回りに回転させたい場合には

@keyframes mov_rot {                  

    0% { transform: translateX(0px) rotate(0deg);}
    50% { transform: translateX(100px) rotate(0deg);} 
    100% { transform: translateX(100px) rotate(90deg);}
}

と記述します。
「transformプロパティ」を使えば、要素に動きをつけることができます。移動、回転、伸縮、傾斜の４つの効果が用意されてあり、二次元的な動きだけではなく、三次元的な動きまでも可能にしているのが特徴です。
transformプロパティは,トランスフォーム関数を指定して対象要素を変形させます。
【平面空間】

関数	効果
none	要素を変形しません。
matrix()	行列式によって要素を変形します。
translate()	要素のxy座標を移動します。
translateX()	要素のx座標を移動します。
translateY()	要素のy座標を移動します。
scale()	要素をx軸,y軸方向に拡大・縮小します。
scaleX()	要素をx軸方向に拡大・縮小します。
scaleY()	要素をy軸方向に拡大・縮小します。
rotate()	要素を回転します。
skew()	要素の形状をx軸,y軸方向に傾斜します。
skewX()	要素の形状をx軸方向に傾斜します。
skewY()	要素の形状をy軸方向に傾斜します。

【３D空間】

関数	効果
none	要素を変形しません。
matrix3d()	行列式によって要素を変形します。
translate3d()	要素のxyz座標を移動します。
translateZ()	要素のz座標を移動します。
scale()3d()	要素をx軸,y軸,z軸方向に拡大・縮小します。
scaleZ()	要素をz軸方向に拡大・縮小します。
rotateX()	要素をx軸を中心に回転します。
rotateY()	要素をy軸を中心に回転します。
rotateZ()	要素をz軸を中心に回転します。
perspective()	画面から視点の距離を指定して,z軸方向に変形した要素の奥行を表します。

　アニメーションを開始する方法として、よく使用する疑似クラスに

疑似クラス	イベント
active	ユーザーの操作により、要素がアクティブになった時にアニメーションを開始する。
hover	ユーザーの操作により、要素にカーソルなどが乗った時にアニメーションを開始する。

等があります。
　画像がホーバー（画像にカーソルなどが乗った）時にアニメーションを開始するには

.rect_part3:hover {

    animation-name:             mov_rot;
    animation-duration:         1s; 
    animation-fill-mode:        forwards;
    animation-timing-function:  ease;
    animation-iteration-count:  1;
}

ここで各プロパティの役割を説明します。

プロパティ	内容
animation-name	アニメーションを適用する要素を指定する。
animation-duration	アニメーションが完了するまでの時間を指定する。
animation-fill-mode	アニメーションの再生中・再生後のスタイルを指定する。
animation-timing-function	アニメーションの進行度を指定する。
animation-iteration-count	アニメーションの実行回数を指定する。

さらに animation-timing-function, animation-fill-mode プロパティの詳細について述べると

animation-timing-function プロパティは、アニメーションが変化する速度を指定します。

値	進行度
ease	アニメーションの開始・終了付近の動きを滑らかにします。
linear	一定の割合で直線的に再生します。
ease-in	アニメーションの開始付近の動きを穏やかにします。
ease-out	アニメーションの終了付近の動きを穏やかにします。
ease-in-out	アニメーションの開始・終了付近の動きを穏やかにします。
cubic-bezier()	三次ベジェ曲線の軌跡によってアニメーションの進行度を指定します。
step-start	アニメーションの開始時点で終了状態となります。
step-end	開始時点では変化せず、終了時にアニメーションが完了した状態になります。
steps()	指定したステップ数で等分に区切ります。

animation-fill-mode プロパティは、アニメーション再生中・再生後のスタイルを指定します。

値	スタイル
none	スタイルを指定します。アニメーション再生後は、元のスタイルが適用されます。animation-delayプロパティを指定している場合、再生までの時間は元のスタイルが適用されます。
backwards	アニメーション再生後は、最初のキーフレーム(0%)のスタイルが適用されます。animation-delayプロパティを指定している場合、再生までの時間は最初のキーフレーム(0%)のスタイルが適用されます。
forwards	アニメーション再生後は、最後のキーフレーム(100%)のスタイルが適用されます。 animation-delayプロパティを指定している場合、再生までの時間は元のスタイルが適用されます。
both	アニメーション再生後は、最後のキーフレーム(100%)のスタイルが適用されます。 animation-delayプロパティを指定している場合、再生までの時間は最初のキーフレーム(0%)のスタイルが適用されます。

但し、animation-delayプロパティはアニメーションが開始するまでの時間を指定するプロパティです。
　ユーザー操作によりボタンをクリックされた時にアニメーションを開始するためにはjavascriptを使用する必要があります。ユーザー操作によりボタンをクリックされた時、javascriptの関数を呼び出すためはイベント処理を実行するためのメソッド addEventLListener() を使用します。

let Element = document.getElementById('クラス名など');
Element.addEventListener('click', 関数名);

と記述します。ただし関数名の後に () を付ける必要はありません.
イベントの種類には

【マウス関連】

イベント	発生のタイミング
click	ボタンをクリックしたとき
mousemove	カーソルがターゲット内に移動したとき
mouseover	カーソルがターゲット内に侵入してきたとき
mousedown	ボタンを押下したとき
mouseup	ボタンを離したとき
mouseout	カーソルがターゲットの外に出たとき

【キーボード関連】

イベント	発生のタイミング
keypress	キーを押して離したとき
keydown	キーを押下したとき
keyup	キーを離したとき

【DOM関連】

イベント	発生のタイミング
DOMFocusin	ターゲットがフォーカスを受け取ったとき
DOMFocusout	ターゲットがフォーカスを失ったとき
DOMActivate	ターゲットがアクティブになったとき

【INPUT関連】

イベント	発生のタイミング
select	テキストフィールドで文字が選択されたとき
change	コントロールの値が変化した後
submit	submitボタンが押されたとき
reset	resetボタンが押されたとき
focus	コントロールがフォーカスを受け取ったとき
blur	コントロールがフォーカスを失ったとき

などがあります。特にアニメーションに関連するイベントは

イベント	発生のタイミング
animationstart	アニメーションを開始したときに発生
animationiteration	アニメーションを反復して実行するときに発生
animationend	アニメーションが完了したときに発生
animationcancel	アニメーションを途中でキャンセルしたときに発生

があります。

2.2 アニメーションを開始する方法

　メソッド addEventListener により呼び出された関数の中で、アニメーションを開始します。ここで classList について説明します。　classList とは特定の要素のクラス名を追加したり、削除したり、参照したりすることが出来るプロパティです。　classListの後にメソッドを定義することにより、追加削除などの機能を指定することができます。
主な classList のメソッドは

メソッド	機能
add	クラスを追加する
remove	クラスを削除する
contains	クラスが含まれているか確認する
toggle	クラスが含まれていれば削除、含まれていなければ追加する。

があります。そこでホーバー疑似クラスの時に作った様にしてアニメーションのクラスを作成します。

.rect_rotate {

    animation-name:                 mov_rot;
    transform-style:                   preserve-3d;
    animation-duration:            1s;
    animation-fill-mode:            forwards;
    animation-timing-function: ease;
    animation-iteration-count:  1;
}

　このアニメーションのクラスを画像などのクラスに追加することにより、アニメーションを開始することができます。そしてアニメーションが終了したならば、アニメーションが完了したときに発生するイベントによりアニメーションのクラスを忘れずに削除します。

3. CSSの中で変数を使用する手順

　もう一つ特記したい事は、今までは知らなかったのですが CSS の中で変数が使用できるという事です。カスタム・プロパティという名称で呼ばれているそうです。（２０１５年にW3Cから勧告されたの事です。）これは大変便利な機能です。WEBサイトやWEBアプリの制作過程においてヘッダー、ナビゲーション、セクション、フッターなどの全ての幅(width)を少しだけ広げたいという事はよくありました。この様な場合 CSS の中の最初に変数を定義しておけば、一か所を変更するだけで全ての幅を変更することができます。
　変数名の先頭に二つのハイフンを付けて変数を定義しておき、変数を使用するときにはvar()関数に変数名を代入します。
さらに、:root 疑似クラスを使って

:root {
    --body_width: 720px;
}

と定義すれば、HTML文書の全体にわたって適用することができます。
　このカスタム・プロパティを使用する、もう一つのメリットはキーフレームの中に変数を使えば、javascript により変数を変更することができます。たとえばアニメーションを回転させるキーフレームを

@keyframes Rotate_rectangle {

    from{
        transform: rotateX(0deg) rotateY(0deg) rotateZ(0deg);
    }
    to{
        transform: rotateX(var(--val-xdeg)) rotateY(var(--val-ydeg)) rotateZ(var(--val-zdeg));
    }
}

と定義しておけば、javascript の setProperty() メソッドにより変更することができます。

function setProperty_xdeg(event){

    var xdeg = event.currentTarget.value + "deg";

    document.documentElement.style.setProperty('--val-xdeg', xdeg);
}

2022-01-25

アルキメデスの大戦とアルキメデスの公理から平均値の定理まで

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　題名に魅せられて、三田紀房さんによる日本の漫画、およびそれを原作とした実写版映画「アルキメデスの大戦」を観ました。軍艦、航空母艦など旧日本海軍の開発・製造について、当時の技術戦略と人間模様をテーマとしてフィクション作品でした。
　微分積分の基幹となる概念の一つである「アルキメデスの公理」とは、大雑把にいえばサッカーボールを100倍とか1000倍とか、何倍（正の整数倍）かすれば必ず地球よりも大きくなるという考え方で、無限大・無限小を論じる時に基幹となる概念です。
　この「アルキメデスの公理」から「平均値の定理」に至るまでの理論は、数学は勿論のこと物理学、工学などにおいても核となる概念の一つです。

　映画のあらすじと感想を書いた後、アルキメデスの公理から平均値の定理まで簡単に解説していきます。

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１．映画「アルキメデスの大戦」のあらすじと感想

1.1 あらすじ

　昭和８年、日本は激動の世界の中で大きく揺れていた。国際連盟を脱退した日本は世界の中で孤立を深めて行った。巨大戦艦を建造する計画に大きな期待を寄せていた日本帝国海軍上層部に対して、待ったをかけたのが海軍少将・山本五十六だった。彼は近い将来、空軍による空中戦が主体になることを予想して航空母艦を作る様、代替案を提案していた。しかし、海軍大臣を中心とした上層部は世界に誇示する大きさを誇るため、巨大戦艦の建造を支持していた。戦艦建造計画の裏に隠された不正を暴くため、山本は天才数学者・櫂直を海軍に招き入れた。戦艦に使われる鉄の総量と戦艦の建造にかかる費用とが相関関係にあることを発見した櫂は、新造艦最終会議で相関の関数式を示し建造にかかる莫大な費用を見事に算出した。だが...

1.2 感想

　学生時代に解析学（微分積分から関数解析まで）を学んだ私は、「アルキメデス」という言葉に魅せられてこの映画を観ました。戦艦大和のディテールな描写を評論では書いてありますが、私はそれとは違う点に印象を持ちました。巨大戦艦の設計を担当した造船中将・平山忠道が櫂を説得するシーンの中で、負け方を知らない日本人が戦争に負けた時、絶望感の中から目覚めさせるために巨大戦艦「大和」の沈没は意義があるのだと諭すシーンがあります。私はこのシーンが印象的でした。勝手な想像ですが、ここに作者の意図があるのではないかと思いました。

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２．アルキメデスの公理とは

アルキメデスの公理とは、正の実数 a, b に対して

$a$ < $N b$

を満たす自然数 N が存在するという公理です.この公理から

$\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{ 1 }{ n } = 0 }$

が成り立つことを導けます。さらに、実数の完備性を仮定すれば上限定理
「上に有界な集合には上限が存在する」
を示すことができます。逆に、このアルキメデスの公理は上限定理を用いて証明します。すなわち
・上限定理
・実数の完備性とアルキメデスの公理
は同値な命題であることがわかります。

リンク

３．ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理

　数列の部分列の定義から始めると、数列の部分列とは数列の中から無限個の項を取り出し、順番を保ったまま並べた数列を部分列といいます。正確に定義すると、数列と自然数から自然数への単調増加写像との合成写像を部分列といいます。

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの(Bolzano - Weierstrass)定理は
「有界な数列は収束する部分列を持つ.」
という定理です。

　この定理の証明は、数列は有界だから数列全体を実数の集合と考えたとき上限定理により、下限と上限が存在するから下限から上限までの区間を考えます。その区間を二分の一にし、（少なくとも）無限個の数列がある方の区間を新しい区間とします。新しい区間を再度二分の一にし、無限個の数列ある方の区間を新しい区間とします。この操作を繰り返し区間の列を作れば、各々の区間の左端は上に有界な単調増加数列となり、右端は下に有界な単調減少数列となります。かつ、区間の幅は限りなく０に近づきます。すなわち、区間の列は、ある点に収束します。したがって各々の区間の中から、順番を保ちながら一つずつ抽出し部分列を作れば収束する部分列になります。

４．最大値最小値の定理

最大値最小値の定理は
「関数 $f( x )$ が閉区間 $[ a, b$ ] で連続であるとき, $f( x )$ の $[ a, b$ ] における最大値と最小値が存在する.」
という定理です。

　証明は二つのステップに分かれます。第一段として連続関数の有界性を示します。有界ならば「上限定理」により上限値と下限値が存在するから、第二段として、その上限値と下限値が最大値と最小値になることを証明します。第一段の有界性は、有界ではないと仮定して矛盾を導きます。その過程で使用するのが、ボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理です。

５．平均値の定理

平均値の定理は
　関数 $f( x )$ は閉区間 $[ a, b$ ] で連続で,開区間 $( a, b )$ で微分可能であるとする.このとき

$\displaystyle{ \frac{ f( b ) - f( a ) }{ b - a } = f^{\prime} ( c ) } \quad$ a < c < b

を満たす $c$ が存在する.
という定理です。

　任意の区間で連続でかつ微分可能な実数値関数の二つの点の平均変化率と一致する微分係数をもつ点が、二つの点の間に少なくとも一つ存在するという定理です。この定理の補助定理でもある「ロルの定理」は、連続関数が最大値（または最小値）をとる点で微分係数が 0 になることを示すことにより証明します。

　「平均値の定理」は微分積分学の基本公式、全微分、コーシー・リーマンの関係式など解析学の至る所で登場する重要な定理です.

まとめ：
　映画の中で登場した戦艦大和の二十分の一の模型は、アルキメデスの公理を連想させるものではないかと、勝手に想像しています。学部に入った初学年の冬は、ちょうど偏微分から連鎖微分のあたりを学んでいたことを思い出しています。

hilbert314159.org

2022-01-01

ε-δ論法。私は、こう理解しました。

優しい風を吹かしたら、今までぼんやりとしか映らなかった景色でも、くっきりとみえてくる場合があります。
微分積分や解析学を学ばれる方にとって、避けて通れない概念のひとつである
ε-δ論法を理解することで、今までぼんやりとしか見えなかった極限の概念、すなわち限りなく近いという数学的意味がくっきりと見えてくるかも知れません。
ε-δ論法。私は、こう理解しました。

hilbert314159.org

リンク

数学における「任意」とは

はじめに数学における「任意」という言葉の意味を正確に理解する必要があります。
任意(arbitrary)という言葉を検索すると、思いのままに任せるとか、当人の自由意志に任せるという意味があると出てきます。数学における任意とは、特に選び方を固定しないことを意味します。例えば、集合Aの任意の要素という場合「集合Aのどの要素でも」とか「集合Aのいずれの要素でも」という意味になります。この場合、「集合Aのすべての要素」と表現しても同じだと考えてがちですが、微妙に違いがあります。

「偶数全体の集合のすべての要素は、２で割り切れる」
「偶数全体の集合の任意の要素は、２で割り切れる」
と記述した場合は、同じ意味で用いられますが、

「開区間の上のすべての点において連続である」
「開区間の上の任意の点において連続である」
と記述した場合は、全く異なる意味で用います。

この場合の任意とは、開区間の上の点を無作為（ランダム）に選んで固定するという意味で用います。
「開区間の上の任意の点で連続である。故に、開区間の上のすべての点で連続である。」
と証明することが、数学における常套手段です。

0に限りなく近い値

はじめに次の様な集合を考えます。
A = { " 1 より小さい正の実数 " }
いま、ε を集合 A の任意の要素とします。すなわち、集合 A の要素の中から無作為に選んだ値 ε を固定します。
このとき、 ε の十分の一、百分の一の値も集合 A の要素であることは確かですから

$\delta$ < ε

を満たす集合 A の要素 δ が必ず存在します。
この様に、どんなに小さい正の実数を選んでも、その値より小さい正の実数が存在すると記述することにより、
「0 に限りなく近い値」を表現します。

数列の極限（ ε - N 論法）

数列

$a_{ n } = \frac{ 1 }{ n } \quad n = 1,2, \cdots$

を考えます。この数列は、0 に収束します。すなわち

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{ n } = 0 }$

成り立ちます。ここで、2. で記述した δ の代わりに 1 / N を用います。但し N は自然数とします。
任意の ε > 0 に対して

$\displaystyle{ \frac{ 1 }{ N } }$ < ε

を満たす N が存在します。例えば ε = 0.01 の場合には、 N = 100 + 1 とすれば、

$\displaystyle{ \frac{ 1 }{ 101 } }$ < ε

が成り立ちます。この時、 n > N を満たす、すべての自然数 n に対して

$a_{ n } = \displaystyle{ \frac{ 1 }{ n } }$ < ε

が成り立ちます。そこで、
任意の ε > 0 に対して、ある自然数 N が存在して n > N を満たす自然数に対して

$| a_{ n } |$ < ε

を満たすとき、数列 $a_{ n }$ が 0 に収束すると定義します。

いま、数列 $a_{ n }$ が $\alpha$ に収束する場合は、数列 $a_{ n } - \alpha$ は 0 に収束するから
任意の ε > 0 に対して、ある自然数 N が存在して n > N を満たす自然数に対して

$| a_{ n } - \alpha |$ < ε

を満たすと定義します。

あらためて、数列の極限を定義すると、
数列 $a_{ n }$ と実数 $\alpha$ が次の性質を満たすとき、数列 $a_{ n }$ は $\alpha$ に収束するといいます。
任意の ε > 0 に対して、ある自然数 N が存在して n > N を満たす自然数に対して

$| a_{ n } - \alpha |$ < ε

が成り立つ。このとき

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{ n } = \alpha }$

と記述します。

リンク

連続関数（ε - δ 論法）

ここでは,数列の極限により関数の連続性を一旦定義します.その定義と同値な条件をε - δ論法を記述し,同値であることを証明した後,改めて関数が連続であることを再定義します.
$f(x)$ を開区間 I で定義された関数とします。このとき、関数 $f(x)$ が開区間 I 上の点 $x_{ 0 }$ で連続であるとは、
点 $x_{ 0 }$ に収束する任意の数列 $x_{ n }$ に対して

$\begin{align*} \lim_{ n \to \infty } f( x_{ n } ) = f( x_{ 0 } ) \end{align*}$

が成り立つことであると、定義します。

定理：
関数 $f(x)$ が点 $x_{ 0 } \in I$ で連続になるための必要十分条件は、
任意のε > 0に対して、あるδ > 0 が存在して
$| x - x_{ 0 } |$ < δ ならば $| f( x ) - f( x_{ 0 } ) |$ < ε
が成り立つことである。

証明に関しては以下のドキュメントを参照してください。

http://hilbert314159.org/pdf/epsilon-delta.pdf

この定理（必要十分条件）により、関数の連続性を定義し直すと。
定義：
$f(x)$ を開区間 I で定義された関数とします。このとき、関数 $f(x)$ が開区間 I 上の点 $x_{ 0 }$ で連続であるとは、
任意のε > 0に対して、あるδ > 0 が存在して
$| x - x_{ 0 } |$ < δ ならば $| f( x ) - f( x_{ 0 } ) |$ < ε
が成り立つことである。

2021-12-21

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車いすに乗って旅行に行きたい理由があります

まとめ

第1章 正則関数とは何か

第2章 正則関数の性質

第３章 孤立特異点

第4章 多価関数とリーマン面（1次元複素多様体）

第5章 正則関数・有理形関数は存在するか

第6章 一次変換

第7章 ボアンカレ計量

第8章 楕円関数・モジュラー関数

1. brackets から VScode への移行

2. アニメーションの作り方とアニメーションを開始する方法

2.1 アニメーションの作り方

2.2 アニメーションを開始する方法

3. CSSの中で変数を使用する手順

１．映画「アルキメデスの大戦」のあらすじと感想

1.1 あらすじ

1.2 感想

２．アルキメデスの公理とは

３．ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理

４．最大値最小値の定理

５．平均値の定理

数学における「任意」とは

0に限りなく近い値

数列の極限（ ε - N 論法）

連続関数（ε - δ 論法）

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本ズワイ蟹かにしゃぶ・お刺身ポーション

第1章　正則関数とは何か

第2章　正則関数の性質

第３章　孤立特異点

第4章　多価関数とリーマン面（1次元複素多様体）

第5章　正則関数・有理形関数は存在するか

第6章　一次変換

第7章　ボアンカレ計量

第8章　楕円関数・モジュラー関数

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