微分積分から関数解析まで解析学の本を紹介します。
最寄り駅からバスに揺られて、約２５分。新築の家が建ち並ぶニュータウンを抜けると小高い丘陵が見えてくる。その丘陵の坂道を登った場所に私たちの学校がありました。身動きが出来ないくらい満員のスクールバスの中でも、新緑に包まれた車窓の風景が新鮮でした。数学を学んだ学生時代を振り返りながら、微分積分から関数解析まで私が読んだ解析学の数学書を紹介させていただきます。
「小高い」と言えば、解析学を学ぶとき最初に克服しなければならない小高い山が、δ-ε論法でした。限りなく近いということ（極限）を数学の言葉で正確に記述するための論法が、このδ-ε論法です。δ-ε論法を使えば、微分積分はもとより関数解析などの分野に至るまで、矛盾なく記述（証明）をすることができるようになります。高校数学の微分積分で曖昧さを感じていた原因が、このδ-ε論法を知ることにより解決しました。
高木貞治著 解析概論 （岩波書店）
δ-ε論法に頭を悩ませている頃、友達に誘われて「高木貞治著 解析概論 岩波書店」を読む輪講に参加しました。メンバーは１０人くらいだったと思います。１節ごとに担当を決め、先生のアドバイスを受けながら発表していきました。私が担当した節は「接線および曲率」の節でした。行列と行列式を用いて説明したことを薄っすらと覚えています。
微分積分を始める前に、実数の性質（連続性）について正確に記述する必要があります。その時に「デデキントの切断」という考え方が重要になります。この解析概論は「デデキントの切断」の解説が載っている数少ない本の一冊であると思います。また、Fourier式展開やLebesgue積分の話まで載っているので、学部の３年まで使用していました。
２学年になると、解析学は複素関数論が中心になりました。Cauchy-Riemannの関係式から始まり、Cauchyの積分定理、Cauchyの積分表示、留数定理まで一通り勉強しました。
タイトルを正確に思い出せないのですが、「能代清著 初等函数論 （培風館）」という本が読み易かったと思います。もう一つ「辻正次著 函数論 上・下 （朝倉書店）」が名著として知られていました。この本は、スティルチェス積分（リーマン積分の一般化）により複素積分を定義してあったと、記憶しています。
笠原乾吉著 複素解析（筑摩書房）
最近、見つけた複素解析の本「笠原乾吉著 複素解析（筑摩書房）」を紹介します。この本では、Cauchyの積分定理をグリーン・ストークスの定理を用いて証明してありました。
また付録には、偏微分法から／複素平面／曲線、線積分、グリーン・ストークスの定理／平面のベクトル解析／１の分解とグリーン・ストークスの定理の証明／級数の和、一様収束、整級数、無限積／正則関数とベクトル解析／解析接続、１価性定理、コーシーの積分定理と豊富な内容になっています。
学校の周りには、喫茶店のなければ本屋さんすら、ありませんでした。それゆえ授業が休講になると、図書館で本を読むか、自販機が二つ置いてあった売店で珈琲を飲みながら時間を潰していました。たまに、教授の研究室に遊びに行くと教授が数学の話をしてくれました。
教養課程が終わると、中学や高校の数学の先生を目指すために教職課程を取る人、大型コンピューターやミニ・コンピューター（当時はパソコンなどは無かった時代です）を使用して本格的なコンピューター・サイエンスを研究する人、純数学である代数学の勉強をする人、それぞれの専門分野に分かれました。それと、微分方程式を応用して制御システム工学の研究をした人もいました。
伊藤清三著 ルベーグ積分入門 （裳華房）
私は関数解析の勉強がしたかったので、ルベーグ(Lebesgue)積分の輪講に参加しました。このとき、読んだ本が「伊藤清三著 ルベーグ積分入門 （裳華房）」でした。
Lebesgueの収束定理とFubiniの定理を中心に勉強しました。特に、Lebesgueの収束定理は関数空間が完備であることを証明するときの核となる定理なので、丁寧に証明したことを覚えています。
3年生の後半になると、関数解析の本を何冊か読み、スペクトル分解と作用素の半群に興味を持ちました。
２０世紀の初頭に誕生した関数解析学は、微分方程式や積分方程式などの問題を解く方法として発展した分野であり、その応用範囲は、偏微分方程式のほか、数値解析や量子力学などの幅広い方面に広がっています。
宮寺功著 関数解析（筑摩書房）
卒業研究は「作用素の半群」をテーマとし、参考書として筑摩書房の「宮寺功著 関数解析」を選びました。
この本では、関数解析の基本三大定理と言われているハーン・バナッハの拡張定理・一様有界性定理・開写像定理を証明した後、ボッホナー積分や線形作用素の半群の話に至るまで記述してあります。
論理展開が読み易く、証明の式変形が丁寧なこの本は、関数解析の基礎を過不足なくおさえた名教科書として有名であります。
最後に、数学者でもなく、数学を教えたこともない私が、この様なブログを書くことは僭越だとは思いますが、学生時代の思いブログとして読んで頂ければ幸いです。尚、このブログは未完成です。必要に応じて加筆していきますので、よろしくお願いいたします。
WEBアプリを作りました
伊豆踊り子号が下を通る歩道橋を渡ると、中小の会社が建ち並ぶ街並みに様変わりをします。その街並みの中ほどにある4階建ての白い建物が、私の勤めていた測定器の製造メーカーでした。私が入社した当時は、測定器にマイクロプロセッサを組み込むことが当面の課題でした。
"Z80"というアメリカ・ザイログ社の８ビットマイクロプロセッサの演算プログラムから始まり、パソコン上で動く測定器のコントロール・ソフトウェアまで、プログラムづくりの仕事をしてきました。
不思議なものです学生時代は、FORTRANとかCOBOLとか不得意だった私が、会社を辞めてからもプログラムづくりをしたいという情熱を持ち続けていました。その頃、WEBサイトの作成に興味を持ちました。メモ帳などの簡易エディタのみで、WEBサイトを作成することできるという点が最大のメリットでした。最近では、javascriptを駆使して簡単なＷＥＢアプリを作れる様になりました。その一つを、紹介されて頂きます。
写真や画像にフィルタを掛けるアプリです。ccs3には"filter"というプロパティがあります。このプロパティを使って、グラフィック効果（ぼかしや色変化など）を写真や画像に適用することができます。左のボタンをクリックすると、写真や画像が変化します。
ボタンは上から brightness(明るさ), saturate(鮮やかさ), contrast(コントラスト), blur(ぼかし), grayscale(白黒), sepia(セピア), hue-rotete(色相), invert(階調), opacity(透明度)の順になっています。
また「ファイルを選択」ボタンをクリックして、任意の写真や画像を選択することができます。
プログラムの勉強は、独学だったので時間がかかりました。まだ、インターネットも普及していない時代です。会社帰りに本屋さんで、専門書の立ち読みをすることが日課でした。
C言語やJAVAなどの高級言語はなく、機械語（マシン語）の命令に一対一で対応した、人間が理解し易い文字列で記述されたアセンブラ言語を使用してプログラムを作りました。「２の補数」とは、何ぞやから始まりました。16ビットにおける２の補数と32ビットにおける２の補数は、違うことに気が付くまでまで、かなりの時間を費やしました。加算、減算、乗算、除算、アスキー変換の計算プログラムを作りました。入社して、はじめての仕事でした。それから、グラフィック、フロッピーディスクへの読み書き、ＲＳ２３２Ｃによる通信などのプログラムを作りました。
入社してから３年か４年程経ったころ、上司から tiny basic を勉強するよう勧められました。アスキーというマイコン雑誌に載っていた機械語のプログラム（tiny basic のインタープリタ本体）を一命令づつ解析していきました。効率的なプログラムの作り方を教えてもらいました。この時の経験が後のプログラム作りに活かされていたと思います。
不具合（バグ）を出してしまい、自分はプログラム作りに向かないのではないかと思ったことが何回もありました。仕事を辞めてから十五年以上経った私が無責任な立場で書かさて頂くと、プログラム作りに向いている人、向かない人などいないのだろうと思います。ただ多くのプログラムを書き、バグを出す。成功も失敗も、一つ一つの経験を自分のデータベースに丁寧に積み上げていくことが大切なのだろうなと思います。
アフェリエイトを始めました。
むかし、会社の先輩方と一緒に北海道に連れていって貰ったことを思い出しました。もう三十年以上も前のことです。ニセコのペンションに泊まった後、札幌に行き、ススキノで食べた蟹料理の味が忘れられません。コロナ禍が続く中、通販で蟹を取り寄せるのも良いかもしれません。生ずわい蟹のバター焼きや蟹しゃぶなど、美味しいことでしょう。
http://plumpanda4.sakura.ne.jp/zuwai/index.html
新年になり、冬将軍が次から次へと襲い掛かる季節になりました。受験生はこれからが本番です。コロナ禍の中のはじめての入試です。子供たちに辛い思いをさせないようにすること。大人の責任だと考えます。僕は無力ですが、率直に思います。
暖房は部屋全体を暖めるよりも、下半身、とくに足元を暖める方が、仕事に勉強に効率が上がる様です。
http://plumpanda4.sakura.ne.jp/panel/index.html
昨年の後半は、LaTexが動作しなくなってしまい四苦八苦しましたが、ようやく動作する様になりました。大学の教養学部程度の解析学を中心に勉強をして行きたいと思っています。いまは「コーシー・リーマンの方程式」を証明しています。
昨年からレンタルサーバーを借りて、アフェリエイトを始めました。より丁寧なペラサイトのページを作っていきたいと思います。
CSSだけで作る３次元アニメーション
酷暑の夏が終わり、曼珠沙華の花が、見ごろを迎えています。曼珠沙華の花は一日の寒暖さが大きいければ大きい程、美しくなるそうです。
このブログで紹介するのは、正六面体(regular hexahedron)の表面に画像（写真）を貼り付け、その正六面体を回転させるアニメーションです。javascriptを使用しないで、CSSだけで作成することができました。
動機付けは、CSSの transform プロパティについて調べているときでした。トランスフォーム関数とは、対象となる図形（画像）を移動、拡大・縮小、回転や傾斜をつけることができる関数です。例えば、画像をホーバーされたときに使用します。
このときに、目にしたのが「３D空間」という文字でした。’３D’という言葉から「サイコロ」が思い浮かびました。そこで、「css3 3D サイコロ」と検索をしてみたところ、以下のWEBサイトに辿り着きました。
https://alllearnhobby.com/archives/2219.html
サイト内を読むとHTML本体は、次のようになっていました。
<div id="rect">
<div class="rect_part1 default"></div>
<div class="rect_part2 default"></div>
<div class="rect_part3 default"></div>
<div class="rect_part4 default"></div>
<div class="rect_part5 default"></div>
<div class="rect_part6 default"></div>
</div>
ここで、<div ...></div> の間に<img ... />を埋め込めば、正六面体の表面に写真を貼り付けることが、できるかもしれないと思いつきました。そこで、
<div id="rect">
<div class="rect_part1 default"><img src="p_1.jpg" /></div>
<div class="rect_part2 default"><img src="p_2.jpg" /></div>
<div class="rect_part3 default"><img src="p_3.jpg" /></div>
<div class="rect_part4 default"><img src="p_4.jpg" /></div>
<div class="rect_part5 default"><img src="p_5.jpg" /></div>
<div class="rect_part6 default"><img src="p_6.jpg" /></div>
</div>
とコードを変更したところ、写真を貼り付けることができました。
http://plumpanda4.sakura.ne.jp/3d/index.html
解析学（微分積分学）の勉強は「デデキントの切断」からが、おすすめ。
長い梅雨が明け、酷暑の夏がやって来ました。四十四年前の夏も暑かったのを覚えています。数理学科という理数系の学部に入って、はじめて手にした数学書が、このブログで紹介する高木貞治著 「解析概論」でした。解析学を学ばれた方ならば一度は読まれたことがあると思います。
確か学部の２年生だったと記憶しているのですが、函数論（複素関数論）の最初に習うのが、複素微分可能性と同値な条件の一つであるコーシー・リーマンの関係式です。必要条件の証明は、実部、虚部のいずれかのパラメータを固定することにより、証明することができます。一方、十分条件は「平均値の定理」を用いて証明します。
平均値の定理
任意の区間で微分可能な実数値関数の二つの点の平均変化率と一致する微分係数をもつ点が、二つの点の間に少なくとも一つ存在するという定理です。この定理は、解析学の重要な定理を証明する場面で用います。例えば、積分が微分の逆の操作であることを示す「微分積分学の基本公式」があります。
平均値の定理は「ロルの定理」を用いて証明しますが、その証明で鍵となるのが次の「連続関数の最大限・最小限の定理」です。微分可能な関数が連続になることは、定義から証明することができます。
最大限・最小限の定理（連続関数）
閉区間の上で連続な関数は、区間内において最大値と最小値が存在するという定理が連続関数の最大値・最小値の定理です。言い換えれば、区間内に無限大になることはないという定理です。証明は二つのステップに分かれます。第一段として連続関数の有界性を示します。有界ならば上限値と下限値が存在するから、第二段として、その上限値と下限値が最大値と最小値になることを証明します。第一段の有界性は、有界ではないと仮定して矛盾を導きます。その過程で使用するのが。ボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理です。
ボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理
はじめに、数列の部分列とは数列の中から無限個の項を取り出し、順番を保ったまま並べた数列を部分列といいます。正確に定義すると、数列と自然数から自然数への単調増加写像との合成写像を部分列といいます。
有界な数列は収束する部分列をもつという定理がボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理です。この定理の証明には区間縮小法という方法を使います。
この定理の証明は、数列の有界性により、数列全体を含むような区間を考えてます。その区間を二分の一にし、（少なくとも）無限個の数列がある方の区間を新しい区間とします。この操作を繰り返し区間の列を作れば、各々の区間の左端は上に有界な単調増加数列となり、右端は下に有界な単調減少数列となります。かつ、区間の幅は限りなく０に近づきます。すなわち、区間の列は、ある点に収束します。したがって各々の区間の中から、順番を保ちながら部分列を作れば収束する部分列になります。ここで重要なのは
・上に有界な数列には、上限値が存在する。
・下に有界な数列には、下限値が存在する。
ということです。この存在を保証するのが「デデキントの切断」です。
以上のことにより、微分。強いて言えば微分積分学の根底には、この「デデキントの切断」があることがわかります。
このブログで紹介する高木貞治著 「解析概論」は、デデキントの切断について記述されている数少ない数学書の一つです。これから解析学を勉強する方に、おすすめの一冊です。
